یا به طور ماتریسی

حال با روش نقطه ثابت به طور کلی حل معادله غیرخطی را بررسی می کنیم و سپس با تعمیم روش نیوتن درباره همگرایی اینگونه معادلات بحث می کنیم.
۱-۶- روش نقطه ثابت
با فرض اینکه تابع  در بازه  تعریف شده باشد اگر  در این بازه باشد به طوری که  آنگاه  را نقطه ثابت تابع  می نامند.
با فرض اینکه  ریشه معادله  باشد در روش تکرار نقطه ثابت برای تعیین  ابتدا معادله را به صورت  می نویسیم بعنی  را طوری تعریف می کنیم که اگر  آن گاه  و بر عکس برای به دست آوردن نقطه ی ثابت  نقطه ی  را به عنوان تقریبی برای آن انتخاب می کنیم و دنباله  را به صورت زیر تعریف می کنیم :

تحت شرایط مناسب داریم:

است.  یا ریشه معادله  حد دنباله نقطه ثابت  به عبارت دیگر
قضیه ۱-۲ : شرایط تابع  در روش نقطه ثابت:
پیوسته و مشتق پذیر باشد و بازای هر  در بازه  الف) فرض کنیم تابع
داشته باشیم  یعنی تابع  بازه  را به خودش می نگارد.
ب) فرض کنیم عددی مانند  وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر  داشته باشیم  که تابع  دارای یک و تنها یک نقطه ثابت  باشد.
آنگاه به ازای هر نقطه آغازین  دنباله  تعریف شده همگرا به  است.
تولید می شود تابع تکرار می نامیم.  را که توسط دنباله  در قضیه بالا تابع
به گونه ای انتخاب شود،  کمتر باشد ، آنگاه باید  را به دست آوریم به طوری که خطا از  اگر بخواهیم بدست آورد.  که تقریبی برای
در حالت خاص اگر  نا مساوی  را خواهیم داشت زیرا در این صورت عبارت  را داریم .
درباره آهنگ همگرایی روش تکرار نقطه ثابت بیان می کنیم که اگر  نقطه ثابت  ریشه معادله  باشد و  در بازه ی  در شرایط قضیه نقطه ثابت صدق می کند داریم:

اگر  در بازه  پیوسته باشد و به ازای هر  داشته باشیم  آنگاه خواهیم د اشت  از انجایی که  نتیجه می گیریم  است. بنابراین داریم

پس برای  های به قدر کافی بزرگ  است که نشان می دهد خطا در هر گام متناسب با خطا در گام های قبلی است در چنین حالتی گفته می­ شود که همگرایی از مرتبه اول یا خطی است.
هر اندازه  کوچکتر باشد  سریعتر به سمت صفر میل می کند به ویژه سریعترین حالت وقتی است که  باشد در این صورت برای تعیین مرتبه همگرایی فرض می کنیم که  در بازه ی  پیوسته باشد با به کار بستن بسط تیلور داریم

است نتیجه می شود  با فرض اینکه
ا
بدست می آوریم

بنابراین

آن گاه می توان گفت که  اگر

در این حالت همگرایی را از مرتبه دوم نامند به همین ترتیب می توان همگرایی از مرتبه بالاتر را تعریف کرد به طور کلی داریم که اگر  دنباله ای باشد به طوری که  قرار می دهیم

وجود داشته باشد به طوریکه  و عدد مثبت  اگر عدد حقیقی

آن گاه گفته می شود که مرتبه همگرایی  به  برابر  است واضح است که هر چه  بزرگتر باشد آهنگ همگرایی سریعتر است
۱-۷-روش نیوتن
روش نیوتن حالت خاصی از روش تکرار ساده است و آن را به صورت زیر نشان می دهیم

فرض می کنیم  به  همگرا باشد اگر عددی مانند  و ثابتی غیرصفر مانند  وجود داشته باشد به طوری که

آن گاه  را مرتبه همگرایی آن دنباله گوییم هرگاه  همگرایی را خطی گویند. مرتبه همگرایی روش تکرار ساده وقتی  یک است و روش تکراری نیوتن وقتی  حداقل دو است برای کسب اطلاعات بیشتر به [۱]رجوع شود.
حال روش نیوتن را برای حل دستگاه  که یک دستگاه معادلات غیرخطی شامل  معادله و  مجهول می‌باشد ، به کار می‌بریم یعنی در حالت کل روش نیوتن را برای حل دستگاه‌های معادلات غیرخطی تعمیم می دهیم.
۱-۸- تعمیم روش نیوتن برای حل دستگاه های غیر خطی
حال روش نیوتن را برای حل دستگاه  که یک دستگاه معادلات غیرخطی شامل  معادله و  مجهول می‌باشد ، به کار می‌بریم یعنی در حالت کل روش نیوتن را برای حل دستگاه‌های معادلات غیرخطی تعمیم می دهیم.
دستگاه زیر را درنظر می گیریم: