۲-۱۰

که در آن است. به یاد داشته باشید که دوره­نگار لاپلاسی در فرکانس سیگنال دارای توزیع

۲-۱۱

است که در آن و . توزیع در رابطه (۲-۱۰) مشابه رابطه (۲-۱۱) است با این تفاوت که عامل مقیاس و پارامتر نامرکزی و به ترتیب با و جایگزین شده ­اند. میانگین این توزیع با میانگین مجانبی ، که برابر با است، همخوانی دارد. توجه کنید که وجود پارامتر غیر صفر نامرکزی نشان می­دهد که قله ممکن است در فرکانس نوع سوم نمایان شود. در نتیجه، قله طیف را باید با احتیاط تفسیر کرد.
فصل سوم
دوره­نگارهای چندکی
۳-۱ مقدمه
رگرسیون چندکی^[۳۷] روشی پرتوان در رگرسیون است که توانایی­های روش کمترین مربعات خطا را گسترش داده و در بسیاری از زمینه­ ها به صورت گسترده­ایی مورد استفاده قرار می­گیرد (Koenker (2005)). در رگرسیون تأکید بر میانگین شرطی است اما در رگرسیون چندکی تأکید بر چندک­های شرطی است و، بنابراین، این روش دیدگاهی وسیع­تر و بهتر از داده ­ها ارائه می­ کند. با توجه به کاربرد وسیع رگرسیون چندکی در سال­های اخیر، این روش در معرفی دو تابع مشابه با دوره­نگارها، با نام دوره­نگار چندکی نوع یک و دو، مورد استفاده قرار گرفته است. این دوره­نگارها در تحلیل طیف سری زمانی کاربرد دارند.

دوره­نگارهای چندکی^[۳۸] تعمیمی از دوره­نگارهای عادی و دوره­نگارهای لاپلاسی هستند. در ادامه نشان می­دهیم که دوره­نگارهای چندکی نه تنها ویژگی دوره­نگارهای عادی، به عنوان نمایش وابستگی­های پیاپی در دامنه فرکانس، را دارند بلکه دیدگاهی غنی­تر نسبت به داده ­ها را فراهم می­آورند. به طور خاص نشان می­دهیم که دوره­نگارهای چندکی دوره­ های پنهان در چندک را مشخص کرده و همچنین ویژگی­های وابسته به چندک را در تابع طیف آشکار می­ کنند. در انتها با بهره گرفتن از تحلیل مجانبی نشان می­دهیم که این دوره­نگارها با طیف عبور از سطح^[۳۹]، که نمایش وابستگی پیاپی^[۴۰] در دامنه فرکانس^[۴۱] در فرآیندهای تصادفی است، در ارتباط هستند.
۳-۲ دوره­نگارهای چندکی
برای ، تابع نامنفی ، برای ، را به صورت زیر تعریف می­کنیم:

شکل ۳-۱: نمودار تابع برای
که درآن تابع نشانگر است. چندک -ام نمونه ­ای در یک سری زمانی حقیقی مقدار ، به وسیله ، که مینیمم کننده تابع هزینه^[۴۲] است، مشخص می­ شود. به عبارت دیگر:

۳-۱

به طور کلی، اگر نشان­دهنده برداری از رگرسورها (یا متغیرهای کمکی) باشد، معادله رگرسیون خطی چندکی با به حداقل رساندن رابطه حل خواهد شد. تکنیک­های برنامه نویسی خطی را می­توان برای محاسبه این رابطه بکار برد (Koenker (2005) و Portnoy و Koenker (1997)). فرض اساسی در رگرسیون چندکی این است که چندک -ام ، که با نمایش داده می­ شود، دارای یک رابطه خطی با رگرسورها است، به این معنی که، برای برخی از مقادیر ، است. در این فصل، به حالتی که در آن چندک شامل دوره پنهان است علاقمند هستیم. یک مثال ساده از این حالت به صورت زیر است:

۳-۲
,