از طرفی که یک نگاشت پیوسته است در سه اصل مربوط به یک عمل صدق می‌کند، بنابراین یک عمل پیوسته از رویمی‌باشد. پس یک –فضا است.

یک ریخت در رسته‌ی ، از به ، طبق۲-۴۵، یک ریخت پوششی توپولوژیکی می‌باشد به طوری‌که .
نشان می‌دهیم ریختی مانند از رسته‌ی ، یک ریخت از –فضاها را به صورت زیر القا می‌کند.
فرض کنیدبه طوری‌که یک فضای توپولوژیکی، و
باشد. همچنین به طوری‌که یک فضای توپولوژیکی، وباشد. بنابراین ثابت می‌کنیم یک ریخت از –فضاها است.
تابع را در نظر می‌گیریم. چون یک ریخت پوششی توپولوژیکی است، پس پیوسته است. بنابراین یک تابع پیوسته از به می‌باشد.
ازطرفی چون ، پس .
همچنین
جایی‌که تعریف شده باشد، بنابراین ، درنتیجه تعریف‌شده می‌باشد.
پس یک ریخت از –فضاها است، در نتیجه شرایط لازم یک تابعگون را دارد.
حال ثابت می‌کنیم نیز شرایط لازم یک تابعگون را دارد.
فرض کنید یک –فضا باشد. با تعریف نگاشت‌های زیر، را به یک گروه‌وار توپولوژیکی با فضای شی‌ای تبدیل می‌کنیم.
به‌سادگی دیده می‌شود که در ۵ شرط گروه‌وار نیز صادق است. بنابراین یک گروه‌وار می‌باشد.
چون یک گروه‌وار توپولوژیکی است، پس یک فضای توپولوژیکی می‌باشد. از طرفی نیز یک فضای توپولوژیکی است، بنابراین توپولوژی را، به‌عنوان زیرفضایی از ، توپولوژی حاصل‌ضربی در نظر می‌گیریم.
چون عمل گروه‌وار و نگاشت‌های شیء، معکوس و ترکیب در گروه‌وار پیوسته می‌باشند، پس نگاشت‌های تعریف‌شده برای گروه‌وار پیوسته می‌باشند. بنابراین یک گروه‌وار توپولوژیکی است.
حال نشان می‌دهیم
یک ریخت پوششی توپولوژیکی از گروه‌وارها است. برای این‌کار ابتدا نشان می‌دهیم که نگاشت تصویری یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی است، جایی‌که با‌معنا باشد.
و
برای داریم:
پس یک ریخت از گروه‌وارهامی‌باشد.
چون نگاشت‌های و پیوسته هستند، پس یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی است.
حال با تعریف نگاشت همانی ، چون همئومورفیسم است، پسیک ریخت پوششی توپولوژیکی می‌باشد. بنابراین یک ریخت پوششی توپولوژیکی است.
فرض کنید یک ریخت از –فضاها باشد به طوری‌که و . حال ثابت می‌کنیم که ریخت پوششی توپولوژیکی را از به القا می‌کند. تعریف می‌کنیم:
جایی‌که با‌معنا باشد. چون ، پس . درنتیجه نیز بامعنا است.
همچنین چون وریخت‌های پوششی توپولوژیکی هستند، طبق گزاره ۲-۴۶، نیز یک ریخت پوششی توپولوژیکی می‌باشد. پس نیز شرایط لازم یک تابعگون را دارد.
برای جایی‌که ، و داریم:
در نتیجه .
با توجه به تعریف ۱-۱۵، داریم یک تبدیل طبیعی است. از طرفی برای هر ریخت پوششی توپولوژیکی ، یک یکریختی از گروه‌وارهای توپولوژیکی است، در نتیجه .■
مثال ۳-۲۵٫ اگریک گروه‌وار توپولوژیکی باشد، آن‌گاه یک –فضای چپ توسط همانی می‌باشد. عمل این فضا برای هرو ، توسط تعریف می‌شود.
توجه داشته باشید که این عمل برگرفته از ریخت پوششی همانی می‌باشد زیرا اگریک ریخت پوششی همانی باشد، با توجه به نگاشت‌های پیوسته‌ی
و
عمل متناظر با این ریخت پوششی ، می‌باشد که برای داریم:
درنتیجه برای و عمل گروه‌وار روی را به‌صورت تعریف می‌کنیم.
تعریف ۳-۲۶٫ مدار
اگریک –فضا باشد، آن‌گاه مدارهای ، کلاس‌های هم‌ارزی تحت رابطه‌ی هم‌ارزی می‌باشند.
اگر و فقط اگر وجود داشته باشد به طوری‌که .
نتیجه ۳-۲۷٫ اگر به طور متعدی رویعمل کند، آن‌گاه دارای تنها یک مدار می‌باشد.
برهان. طبق تعریف عمل متعدی گروه‌وار واضح است زیرا به ازای تمام ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس .
به همین ترتیب برای هر ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس . بنابراین داریم .
همچنین برای هر ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس . بنابراین داریم و .
بنابراین تمام اعضای با هم دررابطه هستند. پس فقط یک کلاس هم‌ارزی داریم و این یعنی دارای تنها یک مدار است.■
گزاره ۳-۲۸.گوییم روی به طور متعدی عمل می‌کند اگر وفقط اگر گروه‌وار متعدی باشد.
برهان. فرض کنید روی به طور متعدی عمل می‌کند. برای دلخواه عضو ثابت می‌کنیم .
فرض کنید، و . چون متعدی است پس وجود دارد به طوری‌کهو پس بامعنا می‌باشد و وجود دارد به طوری‌که و. بنابراین برای هر داریم .
برعکس فرض کنید متعدی باشد. پس واضح است که برای هر ، یک وجود دارد به طوری‌که و . از طرفی چون ، پس و . بنابراین برای هر ، وجود دارد به طوری‌که .■
توجه ۳-۲۹٫ مجموعه‌ی مدارهای تحت عمل چپ به صورت نوشته می‌شود و با تعریف نگاشت