به طوری که :

پس تحویل­پذیر است و چون لذا تحویل­پذیر است و این متناقض با فرض است.

بنابر این و به طور مشابه به ازای هر ، . در نتیجه یکانی موجود است به طوری که و .
اکنون نشان می دهیم جایی که .
فرض کنیم بنابراین طبق تعریف 1-4-6 یک نگاشت کاملاً مثبت است و یکانی نیز است . چون یک ترکیب محدب است پس در نتیجه :

هم چنین چون پس که تحویل نا پذیر است ولی طبق ] 1[صفحه 286، . حال طبق ]20[ ملاحظه 4، به ازای هر ، در رابطه ( ها ماتریس های هستند)، ها یکتا هستند یعنی وقتی،
یک تجزیه دیگر از باشد طبق یکتایی ها باید به طوری که و .
ملاحظه 4-2-5: اگر يك زيرمجموعه محدب فشرده از باشد و يك نقطه فرين از آن گاه طبق قضيه 4-1-1 اگر آن‌گاه يا با بعضي از ها هم ارز است يا تحويل‌پذير است. بنابراين ابتدا در نظر مي‌گيريم كه يك نقطه فرين و تحويل‌ناپذير از باشد آن‌گاه طبق نتيجه 4-2-4، نتيجه مي‌گيريم كه .

فرض كنيم كه به طوري كه ها عضو ، مثبت و معكوس‌پذيرند و و . چون ها مثبت هستند پس و طبق نتيجه 4-2-4 اگر آن‌گاه :

و يكاني است :

كه چون يك نقطه فرين است، شرايط نتيجه 4-2-4 برقرار است و چون  تحويل نا‌پذير است پس فقط با اسكالر‌ها جابجا مي‌شود در نتيجه :

(4-7)
اما چون پس معكوس‌پذير است و . از طرفی با ضرب در طرفین رابطه ( 4-3 ) نتیجه می شود که :

اکنون از اين كه نتيجه مي‌شود كه :

پس . ■
البته اين مطلب از يك راه مستقيم نيز نتيجه مي‌شود به اين صورت كه اگر فرض كنيم كه و و مثبت و آن‌گاه طبق لم 3-2-2، بنابراين . با نوشتن و نتيجتاً به عنوان يك ماتريس قطري، كه براي نيز و با نوشتن به عنوان ماتريس بلوكي از اينكه نتيجه مي‌شود که براي . چون اگر :

يعني و كه و با قرار دادن درنتیجه می شود که :

اکنون فرض كنيم در نتيجه در نتيجه رابطة بالا به شكل زير تبديل مي‌شود.

بنابراين هر يك از درايه‌هاي روي قطر اصلي ماتريس برابر و بقيه صفر هستند و اگر آ‌ن‌گاه چون لذا و چون پس

اگر مثلا پس بايد سطر اول را بررسي كنيم كه فقط سطر اول ماتريس بلوكي را دارد يعني بقيه درايه‌هاي در اين سطر كه در ستون‌های بعد از ستون اول قرار مي‌گيرند صفر هستند یعنی درايه‌هايی که در ستون‌هاي تا و سطر 1 تا قرار مي‌گيرند صفر هستند و در ماتريس بلوكي نيز يك سري درايه در سطرهاي 1 تا و ستون‌هاي و قرار مي‌گيرند كه لزوماً صفر نيستند ولي حاصلضرب آنها با درايه‌هاي واقع در همين سطر و ستون‌هاي ذكر شده، صفر مي‌شود.چون درايه‌هاي واقع در اين سطر و ستون‌ها صفر هستند. به طور مشابه براي = این مطلب برقرار است و بقيه درايه‌هاي ماتريس بلوكي كه در سطر اول و ستون‌هاي غير از ستون‌هاي تا قرار مي‌گيرند صفر هستند كه حاصل‌ضرب آنها در درايه‌هاي واقع در همين موقعيتها صفر مي‌شود و به طور مشابه براي نيز برقرار است پس به طور كلي در سطر اول كه حاصل‌ضرب و پس و همين طور براي حالت‌هاي ديگري كه این مطلب برقرار است. چون در موقعيت ، و صفر نيز تحويل‌پذير است در حالي كه تحويل‌ناپذير است، لذا بايد باشد يعني تنها در يك حالت است كه و تناقضي با تحويل‌ناپذيري ندارد پس در بايد فقط يك حالت را داشته باشيم كه بنابراين پس :

در واقع چون و در نتيجه و يعني حاصلضرب اسكالري 1 هستند بنابراين به راحتي با نيز جابجا مي‌شوند. چون تحويل‌ناپذير است و تنها عناصري كه با جابجا مي‌شوند هايي هستند كه، پس طبق تحويل‌ناپذير بودن ، باجابجا مي‌شوند.

در حالت كلي ممكن است هيچ نقطه ی فرين و تحويل ناپذير نداشته باشد و بايد نقاط فرين تحويل‌ناپذير ممكن از تراكم را همچنين در نظر گرفت.

توجه داريم كه اگر يك نقطه ی فرين  تحويل‌پذير از باشد به طوري كه ، تراكم نقطه ی فرين  تحويل‌ناپذير از به ازاي وجود اي باشد، مثلاً (يك‌تصويرست) آن‌گاه به عنوان تركيب محدب مي‌تواند بيان شود و چون پس يعني كه كه و .

4-3: عناصر ساختاري:
تعريف 4-3-1: فرض كنيم يك مجموعه‌ی فشرده و محدب  باشد و ، را عنصر ساختاري از اندازه گوييم هر گاه يك تركيب محدباز عناصر باشد آن‌گاه يكاني‌هاي و اسكالرهاي موجود باشند به طوري كه و و . عناصر ساختاري با اندازه را با نشان مي‌دهيم.

گزارة 4-3-2: فرض كنيم يك مجموعه ی فشرده ی محدب  باشد. آن‌گاه عناصر ساختاري با اندازة دقيقاً منطبق بر نقاط فرين و تحويل‌ناپذيرند.